Теорема . Если X и Y — независимые случайные величины, то
\[ D_{X+Y}=D_X+D_Y \]
Будем проводить доказательство для случайных величин, принимающих только по два значения:
| X | \( x_1 \) | \( x_2 \) | и | Y | \( y_1 \) | \( y_2 \) |
| \( p_1 \) | \( p_2 \) | \( q_1 \) | \( q_2 \) |
Предположим сначала, что их математические ожидания равны нулю, что означает, что равно нулю также и математическое ожидание суммы \( X+Y \).
Распределение их суммы задается следующей таблицей:
| \( X+Y \) | \( x_1+y_1 \) | \( x_1+y_2 \) | \( x_2+y_1 \) | \( x_2+y_2 \) |
| \( p_1q_1 \) | \( p_1q_2 \) | \( p_2q_1 \) | \( p_2q_2 \) |
Дисперсию суммы вычислим, расположив четверку слагаемых в виде таблицы (нам нет необходимости явно записывать в скобках равное нулю математическое ожидание):
\[ D_{X+Y}= \begin{array}{c c c} (x_1+y_1)^2p_1q_1&+&(x_1+y_2)^2p_1q_2\\ + & & + \\ (x_2+y_1)^2p_2q_1&+&(x_2+y_2)^2p_2q_2\\ \end{array} \]
Раскрыв скобки, получим двенадцать слагаемых (удвоенные произведения \( x_i \) и \( y_i \) мы собрали отдельно справа):
\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} x^2_1p_1q_1&+&y^2_1p_1q_1&+&x^2_1p_1q_2&+&y^2_2p_1q_2 &+& 2x_1y_1p_1q_1+2x_1y_2p_1q_2 \\ & & & & &+& & & \\ x^2_2p_2q_1&+&y^2_1p_2q_1&+&x^2_2p_2q_2&+&y^2_2p_2q_2&+& 2x_2y_1p_2q_1+2x_2y_2p_2q_2\\ \end{array} \]
Последние пары слагаемых в каждой строке рассмотрим отдельно:
\[ 2x_1y_1p_1q_1+2x_1y_2p_1q_2=2x_1p_1(y_1q_1+y_2q_2)=0;\\ 2x_2y_1p_2q_1+2x_2y_2p_2q_2=2 x_2p_2(y_1q_1+y_2q_2)=0, \]
поскольку в скобках стоит математическое ожидание Y, равное нулю.
Это значит, что \( D_{X+Y} \) равна
\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} x^2_1p_1q_1&+&y^2_1p_1q_1&+&x^2_1p_1q_2&+&y^2_2p_1q_2 & \\ &+& & & &+& & & \\ x^2_2p_2q_1&+&y^2_1p_2q_1&+&x^2_2p_2q_2&+&y^2_2p_2q_2\\ \end{array} \]
Поменяем теперь местами второй и третий столбцы.
\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c} x^2_1p_1q_1&+&x^2_1p_1q_2& & & &y^2_1p_1q_1& &y^2_2p_1q_2\\ &+& & &+& & + &+& + \\ x^2_2p_2q_1&+&x^2_2p_2q_2& & & &y^2_1p_2q_1& &y^2_2p_2q_2\\ \end{array} \]
В новой таблице плюсы показывают порядок суммирования: в первой четверке мы сначала сложим элементы строк, а во второй четверке — сначала сложим элементы столбцов. Это позволит нам далее вынести за скобки нужные множители. Проводим группировку с помощью квадратных скобок и выносим за эти скобки множители:
\[ [x^2_1p_1q_1+x^2_1p_1q_2]\,+\,[x^2_2p_2q_1+x^2_2p_2q_2]\,+\, [y^2_1p_1q_1+y^2_1p_2q_1]\,+\, [y^2_2p_1q_2+ y^2_2p_2q_2]= \\ =x^2_1p_1[q_1+q_2]\,+\,x^2_2p_2[q_1+q_2]\,+\, y^2_1q_1[p_1+p_2]\,+\,y^2_2q_2[p_1+p_2]. \]
Но \( p_1+p_2=1 \) и \( q_1+q_2=1 \), поэтому квадратные скобки вместе с их содержимым можно опустить. В результате получаем выражение \( x^2_1p_1+x^2_2p_2\,+\, y^2_1q_1+y^2_2q_2 \) где первые два слагаемые это \( D_X \), а вторые два — \( D_Y \).
Если исходно математические ожидания слагаемых не были равны нулю, центрируем их. Это не изменит дисперсии слагаемых и суммы, но проведенное выше доказательство будет к ним применимо.
Теорема доказана.