Дисперсионный анализ для двух выборок эквивалентен Т-критерию в том смысле, что значимости гипотезы о равенстве средних в обоих случаях равны.
Пусть у нас имеются две выборки \( \{x_1,x_2,x_3 \} \) и \( \{y_1,y_2,y_3 \} \), причем их общее среднее уже заранее равно нулю. В таком случае \( \overline{x}=-\overline{y} \). Обозначим для удобства \( \overline{x}=a, \overline{y}=b \) с условием b = −a. Таблица выборочных значений разложится в две таблицы (поскольку таблица констант состоит из нулей, мы ее опускаем):
| \( x_1 \) | \( y_1 \) | = | \( a \) | \( b \) | + | \( x_1 -a\) |
\( y_1 -b\) |
| \( x_2 \) | \( y_2 \) | \( a \) | \( b \) | \( x_2 -a\) |
\( y_2 -b\) |
||
| \( x_3 \) | \( y3 \) | \( a \) | \( b \) | \( x_3 -a\) |
\( y_3 -b\) |
Для числителя число степеней свободы равно \( 2−1 = 1 \), для знаменателя \( 2(3−1) = 4 \).
F-отношение запишется так:
\[ F_4^1=\frac{(3a^2+3b^2)}{((x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+(y_1-b)^2+(y_2-b)^2+(y_3-b)^2)/(2(3-1))}. \]
Перенесем двойку в числитель главной дроби (эта двойка, заметим, выражает количество групп), а тройку в главном числителе вынесем за скобки и перенесем за пределы дроби:
\[ F_4^1=\frac{2*(a^2+b^2)}{((x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+(y_1-b)^2+(y_2-b)^2+(y_3-b)^2)/(3-1)}\cdot3. \]
Теперь из этих же выборок составим формулу для Т-критерия:
\[ T_4=\frac{a-b}{\sqrt{((x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+(y_1-b)^2+(y_2-b)^2+(y_3-b)^2)/(3-1)}}\cdot\sqrt{3}. \]
Если мы возведем T в квадрат, то лишь числители главной дроби будут выглядеть по-разному.
Однако, поскольку a=−b, то \( 2*(a^2+b^2)=4a^2 \) и по той же причине \( (a-b)^2=(2a)^2=4a^2 \). Мы доказали, таким образом, что для одинаковых выборок \( (T_4)^2=F_4^1 \) (нижний индекс в T — степени свободы). Понятно, что в общем случае для выборок объема n доказательство будет отличаться только многоточиями и буквой n вместо цифры 3 во всех ее вхождениях в формулы.
Технически сложнее доказательство для неравных выборок, но принципиальных трудностей нет и в нем.
Отсюда следует, например, что если \( t_{0.05}^{17}=t \) является двусторонним 5-процентным квантилем для распределения Стьюдента с 17 степенями свободы, то для \( F_{17}^1 \) 5%-й квантиль равен \( t^2 \). Аналогично для любого объема выборок и любого «номинала» уровня значимости.