2.2.1. Элементарные события и классическая вероятность
Как уже обсуждалось выше, наиболее простым способом определяется вероятность в случае, когда имеется совокупность заведомо равновозможных исходов некоторого испытания.
Элементарными событиями будем называть появление в результате испытания соответствующих исходов из этой совокупности, а сложными событиями какие-то совокупности этих элементарных событий. Теперь можно дать более четкое, чем в предыдущем параграфе, определение.
Определение 2.2.1(1). Классическая вероятность.
Пусть n — число всех pавновозможных элементарных событий, а m — число элементарных событий, составляющих сложное событие A. Вероятность события A (обозначение p(A)) определяется следующим образом
\[ p(A)=\frac{m}{n} \]
Примеры.
1) Вероятность того, что на игральной кости выпадет число больше двух, равна 4/6, или 2/3.
2) Вероятность того, что из тщательно перемешанной колоды из 36 игральных карт наугад вытянутая карта окажется черной масти, равна 18/36, или 1/2.
3) Вероятность того, что у первой проехавшей мимо вас завтрашним утром машины последняя цифра номера будет нечетной, равна 5/10 или 1/2.
4) Вероятность того, что при троекратном бросании монеты появится последовательность ГГЦ — «герб, герб, цифра» — (элементарное событие) равна 1/8, а появление события «выпала ровно одна цифра» (сложное событие, состоящее из трех элементарных: ЦГГ, ГЦГ и ГГЦ) имеет вероятность 3/8.
2.2.2. Ситуации с отсутствием равновозможности
В алгебре мы составляем уравнение, рассчитывая, например, исходя из неизвестного пути известную скорость, а затем решая его, находим неизвестную величину. Похожим образом в прикладной статистике, исходя из неизвестных вероятностей, мы рассчитываем вероятности других событий (которые уже произошли) и затем делаем выводы об этих исходных гипотетических вероятностях, почти столь же определенные, как извлечение значений неизвестных переменных при решении уравнений в алгебре.
Чтобы решать такие задачи, мы нуждаемся в довольно абстрактном определении вероятностей событий.
Определение 2.2.2(1). Вероятностью случайного события в некоторой определенной ситуации называется число, к которому, как мы ожидаем, будет сходиться частота появления этого события в серии испытаний, в которых исходную ситуацию удастся точно повторить.
Поскольку относительная частота определяется как отношение числа выпадений данного исхода к общему числу испытаний, вероятность может принимать значения между нулем и единицей включительно.
Для равновероятных событий, в полном согласии с опытом, мы ожидаем, что частоты их появления будут стремиться к равенству, поэтому таким событиям присваиваем вероятности, равные соответствующим долям единицы.
2.2.3. Формулы алгебры событий. Несовместимые и независимые события
Если определены вероятности элементарных событий, можно переходить к вычислению вероятностей более сложных событий, являющихся комбинацией определенных ранее элементарных.
Определение 2.2.3(1). Событием, противоположным событию A, назовем событие, состоящее в том, что A не произошло (обозначение: Ā, «не A»).
Вероятности этих событий связаны естественным соотношением .
Пример 2.2.3(2). Пусть испытанием является десятикратное подбрасывание монеты. Если событие A = «монета все десять раз выпала гербом», тогда Ā = «монета хотя бы раз выпала цифрой».
Определение 2.2.3(3). Предположим, в некоторой ситуации возможны события A и B. Назовем их суммой событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий — A или B или оба сразу (сумма обозначается A + B). Как и в арифметике, сумма может состоять и из большего числа слагаемых.
Некоторые примеры вполне просты.
Пример 2.2.3(4). Пусть событие A = «игральная кость выпала двойкой», событие B = «игральная кость выпала четверкой». Тогда (A+B) = «игральная кость выпала двойкой или четверкой».
Заметим, что в этом случае каждое из событий исключает другое, т.е. они не могут произойти вместе. Такие события называют несовместимыми. В этом случае вероятности связаны простой формулой \( p(A+B)=p(A)+p(B) \).
Пример 2.2.3(5). Пусть событие A = «игральная кость выпала числом, делящимся на два», событие B = «игральная кость выпала числом, делящимся на три». Тогда событие A+B = «игральная кость выпала числом, делящимся на два или на три».
В этом случае шестерка входит в оба события-слагаемых. В сумму входят четыре элементарных исхода: двойка, тройка, четверка и шестерка, следовательно, \( p(A+B)=4/6\neq p(A)+p(B) \).
Опеределение 2.2.3(6). Произведением событий A и B назовем событие, состоящее в совместном наступлении обоих этих событий (обозначение AB).
Общая формула вероятности суммы событий такова: \( p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB) \). Действительно, элементарные события, из которых состоит AB, входят и в A и в B, т.е. в \( p(A)+p(B) \) посчитаны дважды. Вычитание p(AB) корректирует сумму.
В нашем последнем примере\( p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(AB) = 1/6, и AB \) состоит из единственного события — выпадения шестерки, т.е. \( p(AB) = 1/6 \), поэтому \( p(A)+p(B)-p(AB)=1/2+1/3-1/6=4/6 \).
Пример 2.2.3(7). Мы уже писали, что при бросании двух неразличимых монет вероятность получить сочетание «герб-цифра» равна 1/2. Этот факт является следствием равенства p(AB) = p(A)p(B), которое верно в случае произведения независимых событий. Предположим, мы бросаем две легко различимые монеты — рубль и юань.
Пусть событие A = «юань выпал гербом», событие B = «рубль выпал гербом», и событие AB = «обе монеты выпали гербом». Пространство элементарных исходов для первой монеты: {«рубль выпал гербом», «рубль выпал цифрой»}, поэтому \( p(A)=1/2 \), аналогично для второго: {«юань выпал гербом», «юань выпал цифрой»}: \( p(B)=1/2 \).
Элементарные исходы для броска двух монет мы можем изобразить в виде таблицы.
Таблица 2.2.3(8). Возможные исходы броска 2 монет
| юань выпал гербом | юань выпал цифрой | |
| рубль выпал гербом | ГГ | ГЦ |
| рубль выпал цифрой | ЦГ | ЦЦ |
Все четыре исхода равновероятны. Действительно, если сначала мы подбросим рубль, то результат определит строку с вероятностью 1/2. Далее, результат подбрасывания юаня определит с той же вероятностью столбец таблицы[1]. Таким образом, мы видим, что равенство \( p(AB) = p(A)p(B) \) здесь не случайно, а связано с тем, что p(AB) состоит из половины (определяемой выбором столбца таблицы) от половины (определяемой выбором строки таблицы) элементарных исходов для события AB. Заметим, что равенство вероятностей не изменится, если мы сначала подбросим юань, а потом рубль, или если мы бросим обе монеты одновременно. Больше того, если мы бросим одну и ту же монету два раза, то и тогда все четыре последовательности ГГ, ГЦ, ЦГ и ЦЦ будут иметь равные вероятности 1/4. Именно поэтому, если мы, не различая монеты или броски, будем считать только количество выпавших гербов, то событие «из двух монет только одна выпала гербом» будет включать два элементарных события из четырех и, следовательно, иметь вероятность 1/2.
Такого рода соотношение выполняется в том случае, если A и B — физически независимые события, т.е. мы понимаем и имеем основания так считать, что результат одного испытания (юаня) никак не зависит от результата другого испытания (рубля). Точно так же, бросая две игральных кости, мы имеем основания считать, что число на первой не зависит от числа, выпавшего на второй, и тогда результат «сумма равна 12 очкам» будет иметь вероятность 1/36 (для обоснования надо будет нарисовать таблицу 6×6). В математической теории вероятностей формула перемножения вероятностей является основанием определения: события A и B независимы, если \( p(AB) = p(A)p(B) \). Для физически независимых событий[2] она верна по изложенным выше соображениям, однако она выполняется также и для событий, которые мы не можем признать физически независимыми. Например, для событий A= «игральная кость выпадает четной гранью» и B= «игральная кость выпадает числом, делящимся на три» \( p(AB) = p(A)p(B) \), т.е. события независимы. Если бы мы использовали игральную кость с семью гранями[3], то эти события оказались бы зависимыми. Для семи граней событие A состоит из суммы трех элементарных событий «игральная кость выпадает двойкой», «игральная кость выпадает четверкой» и «игральная кость выпадает шестеркой», событие B = «игральная кость выпадает тройкой» и «игральная кость выпадает шестеркой». В этом случае \( p(A)=3/7,p(B)=2/7, p(AB)=1/7 \). Равенство нарушено.
Далее мы будем говорить только о физически независимых событиях, поэтому не вступим в конфликт ни с интуицией, ни с математическим определением.
Заметим, что аналогичные формулы перемножения вероятностей верны и для большего числа независимых событий. Например,
\[ p(ABC)=p(A)p(B)p(C) \]
для независимых A, B и C.
2.2.4. Биномиальные вероятности
В ситуациях, связанных с «хорошо организованной» случайностью, не важно, как именно реализован процесс с двумя возможными исходами и априори равными шансами реализации их обоих. Если вместо монеты мы будем подбрасывать игральную кость и ставить плюс, когда на выпавшей грани четное количество точек, и минус, когда нечетное, то поскольку вероятность получить плюс при однократном бросании кости равна 0.5, то при 10 испытаниях вероятность получить 10 плюсов равна тому же самому числу 1/1024, что и вероятность выпадения 10 монет гербом вверх. При этом также безразлично, будем ли мы бросать одну и ту же кость или монету 10 раз последовательно или подкинем одновременно 10 костей или монет. Также не изменится вероятность, если все 10 монет не одинаковы, а, напротив, легко различимы, например, принадлежат разным странам. Достаточно убедиться в том, что на каждой из них можно уверенно различить цифру и нечто, скорее напоминающее герб, чтобы распределение вероятностей совпадало с описанным выше.
Предположим, что в генеральной совокупности граждан России количество лиц мужского пола составляет ровно половину, а вторую половину составляют граждане женского пола. Тогда вероятность того, что 10 случайно выбранных граждан окажутся мужчинами, также равна 1/1024. Как практически выбрать 10 совершенно случайных граждан — другой вопрос, причем не очень простой. Однако в конкретных случаях его можно удовлетворительным образом решить.
Пусть мы бросаем монету три раза и подсчитываем количество выпавших гербов. Вероятность того, что все три монеты выпадут гербом, равна\( (1/2)^3 \) по правилу перемножения вероятностей для независимых событий. Точно так же 1/8 равна вероятность того, что сначала выпадут два герба, а затем цифра. Подобным же образом мы убеждаемся в том, что все восемь возможных последовательностей: ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ могут появиться с равной вероятностью 1/8. Это элементарные события для нашего тройного испытания. Мы видим, что один из этих результатов дает три герба, три результата дают по два, три — по одному гербу и один результат дает ноль гербов. Таким образом, вероятность получить один герб за три броска равна 3/8, и такова же вероятность получить два герба.
Мы собираемся обобщить этот результат на большее число испытаний, поэтому посмотрим на полученные числа с иной точки зрения. Чтобы получить последовательность с одним гербом и двумя цифрами, мы должны в последовательности ЦЦЦ заменить одну Ц на Г. Сделать это можно тремя способами — столькими способами, сколькими из цифр 1, 2, 3 можно выбрать одну. Это число в точности соответствует определению числа сочетаний, а именно, числа сочетаний из трех по одному \( C_3^1 \). Поскольку (элементарные) события ГЦЦ, ЦГЦ и ЦЦГ несовместимы, то чтобы получить вероятность события «при трех бросках выпал один герб», надо вероятность одной последовательности (которая для любой последовательности равна \( 1/8=\frac{1}{2^3} \)) умножить на количество таких последовательностей, откуда получим \( \frac{C_3^1}{2^3} \).
Подбросим теперь четыре монеты. Чтобы получить ровно два герба, в последовательности ЦЦЦЦ две буквы Ц надо заменить на Г. Таких (разных) последовательностей будет столько, сколько существует способов выбрать из цифр 1, 2, 3, 4 любые две. Это количество равно числу сочетаний из четырех по два\( C_4^2 \). Поскольку всего разных последовательностей из четырех гербов или цифр \( 2^4 \), то вероятность получить два герба и две цифры равна \( \frac{C_4^2}{2^4} \).
Это рассуждение можно провести для любых количеств бросков и числа ожидаемых выпадений гербов. Таким образом, если мы бросаем монету n раз, то вероятность получить ровно k гербов равна
\[ \frac{C_n^k}{2^n} \].
Вероятности такого вида называются биномиальными по следующей причине: если мы рассмотрим несимметричную монету, которая выпадает гербом с вероятностью p, а цифрой с вероятностью q=1−p, то, используя аналогичные рассуждения, можем показать, что вероятность получить при n бросках ровно k гербов равна
\[ C_n^kp^kq^{n-k}. \].
а это выражение есть k-й член[4] в разложении бинома .
Формулу числа сочетаний и ее вывод читатель может найти в приложении 6.
>> следующий параграф>>
[1] Если с обеих сторон юаня изображены иероглифы, мы даже можем не знать, какая сторона монеты является гербом, что дополнительно свидетельствует в пользу равной вероятности исходов.
[2] Однако дать математически строгое определение физической независимости событий невозможно, поскольку невозможно записать на математическом языке факт отсутствия причинных связей.
[3] Такую «кость» можно реализовать, сделав длинную правильную семигранную призму (семигранный карандаш).
[4] Точнее, (k + 1)-й, если считать от вероятности получить 0 гербов, равной \( C_n^0p^0q^n=q^n \).