2.3.1 Вероятности и частоты в SPSS
Пример 2.3(1) Соотношение данных в генеральной совокупности и выборке. В файле IntroProb.sav содержатся модельные данные о частоте выраженности различных типов темперамента, полученные в результате проведения опроса по методике Айзенка. Таблица данных состоит из единственной переменной, названной introversion, содержащей данные о выраженности экстраверсии или интроверсии испытуемых (три градации переменной: 1 — интроверт, 2 — экстраверт, 3 — неопределенный тип (так называемый амбиверт)). Поскольку амбиверт не является промежуточным между экстравертом и интровертом типом, то шкалу можно считать номинативной. Таблица содержит очень большое количество измерений этих двух параметров (426 679), статистика соответствует данным, накопленным на сайте http://psyline.retter.ru/auzeng/st_e.php (по состоянию на май 2016 года).
Будем в рамках этого примера рассматривать данные как исчерпывающие генеральную совокупность. Скажем, нас интересует такая генеральная совокупность, как население города, в котором живет 426 679 человек. Такие полные данные о генеральной совокупности обычно либо не существуют вообще, либо засекречены. Допустим, что это секретная база, собранная сотрудниками спецслужб. В таком случае мы можем практически точно определить вероятность событий типа «случайный житель города — экстраверт» или «случайный житель города — интроверт». Для этого надо рассчитать относительную частоту появления того ли иного типа личности в нашей условной генеральной совокупности. Чтобы сделать это, зайдем в меню Анализ — Описательные статистики — Частоты (Analyze — Descriptive statistics — Frequencies). Также, для получения гистограммы, в дополнительном меню «Диаграммы» (Charts) следует выбрать пункт Гистограммы (Histogrames). В качестве анализируемой переменной укажем Introversion. В результате получим таблицу 2.3(2).
Таблица 2.3(2). Распределение типов личности в условной «генеральной совокупности»
| Интроверсия/экстраверсия | |||||
| Частота | Проценты | Валидный процент | Накопленный процент | ||
| Валидные | introvert | 203 423 | 47.7 | 47.7 | 47.7 |
| extravert | 184 524 | 43.2 | 43.2 | 90.9 | |
| ambivert | 38 732 | 9.1 | 9.1 | 100.0 | |
| Всего | 426 679 | 100.0 | 100.0 | ||
Из нее следует, что вероятность интроверсии составляет 0.477 (47.7%), экстраверсии — 0.432, а амбиверсии — 0.091.
Полученная гистограмма (соответствующая таблице) изображена на рис. 2.3(3).
Рис. 2.3(3). Гистограмма распределения интроверсии/экстраверсии
Упражнение 2.3(4). В файле TempProb.sav содержатся данные о выраженности темперамента у жителей того же города. В переменной temp приведена принадлежность жителей к одному из четырех типов темперамента: 1 — холерик, 2 — сангвиник, 3 — флегматик, 4 — меланхолик или 5 — к неопределенному типу. Исходя из положения, что эти данные соответствуют генеральной совокупности, рассчитайте вероятности того, что случайный житель будет обладать тем или иным типом темперамента.
Пример 2.3(5). Смоделируем ситуацию выборочной оценки распределения вероятностей в генеральной совокупности. Допустим, в городе, о котором шла речь в Примере 2.3(1), проводится исследование, направленное на оценку соотношения интровертов и экстравертов. Исследование проводится неким институтом и этим проектом занимаются 10 исследователей. Каждый из исследователей тестирует 100 случайно отобранных жителей города. Таким образом, каждый из них получает выборку размером 100, а при объединении всех набранных данных можно получить большую выборку размером 1000. В файле IntroProbResearch.sav содержатся модельные данные такого исследования тысячи человек десятью исследователями. В первом столбце так же, как и в предыдущем примере, отмечена принадлежность испытуемых к интровертам, экстравертам или амбивертам, а во втором — ResearcherId — условный номер исследователя, который собрал эти данные (от 1 до 10). Сравним результаты, полученные отдельными исследователями, между собой и с данными из Примера 2.3(1) Для этого можно использовать функцию разбиения файла в SPSS: последовательно выбрать пункты меню Данные — Расщепить файл (Data — Split file) и в появившемся диалоговом окне выбрать пункт Организовать вывод по группам (Organize output by), а затем вставить в поле Группы образуются по: (Group based on: ) переменную ResearcherId и нажать кнопку OK. После этого SPSS будет проводить любой анализ отдельно для каждой из групп с разными номерами исследователей.
При повторении расчета частот значений переменной introversion, описанного в Примере 2.3(1), в этом случае мы получим 10 различных таблиц. При этом различия между данными, полученными различными исследователями, будут довольно заметны. Например, доли интровертов, экстравертов и амбивертов по данным исследователя номер 3 будут 0.55, 0.42 и 0.03, а если мы возьмем данные, полученные исследователем номер 10, то доли будут 0.5, 0.4 и 0.1 соответственно.
Упражнение 2.3(6). Соотнесите результаты, полученные каждым из 10 исследователей с данными «генеральной совокупности». Насколько они отличаются от данных, полученных в генеральной совокупности? Как будет соотноситься результат каждого из исследователя с «истинным» распределением типов личности в генеральной совокупности, если каждый исследователь обследует не 100, а только 10 жителей города? А если каждый сумеет обследовать 1000 жителей? В каком случае полученные данные будут более схожими с генеральной совокупностью?
Пример 2.3(7). Если мы объединим выборки, полученные 10 исследователями в одну большую «мета-выборку», то мы получим данные в общей сложности на 1000 случайных респондентов. Проведение частотного анализа соотношения типов личности в объединенной выборке даст результат, приведенный в таблице 2.3(8).
Таблица 2.3(8). Распределение типов личности в объединенной выборке (1000 человек)
| introversion |
|||||
| Частота | Проценты | Валидный процент | Накопленный процент | ||
| Валидные | introvert | 494 | 49.4 | 49.4 | 49.4 |
| extravert | 423 | 42.3 | 42.3 | 91.7 | |
| ambivert | 83 | 8.3 | 8.3 | 100.0 | |
| Всего | 1 000 | 100.0 | 100.0 | ||
Как видно из таблицы, полученные частоты того или иного типа личности уже достаточно близки к полученным в генеральной совокупности, о чем свидетельствует и форма гистограммы общих данных (рис. 2.3(9)).
Рисунок 2.3(9). Гистограмма распределения интроверсии/экстраверсии в объединенной выборке
Данный пример наглядно демонстрирует, что недостаточный объем выборки может приводить к искажению оценки вероятности того или иного события (или значения параметра) в генеральной совокупности. В дальнейшем мы обсудим закон больших чисел, которые строго показывает, что увеличение выборки приводит к все более точной оценке «истинного» значения любого параметра в генеральной совокупности.
Пример 2.3(10) Вызовите файл IntroProb.sav и попробуйте самостоятельно смоделировать исследование, в которое включено 100 случайных жителей города.
Упражнение 2.3(11). Для отбора случайной выборки заданного размера в матрице данных в диалоговом окне отбора переменных Данные — Отобрать наблюдения (Data — Select Cases) надо выбрать вариант Случайная подвыборка (Random sample of cases) и, нажав кнопку Подвыборка (Sample), указать Точно k наблюдение из первых n наблюдений (Exactly k cases from the first n cases), где k — размер подвыборки (100 для этого упражнения), а n — размер всей выборки (426 679 в нашем примере). После этого SPSS случайным образом отберет k наблюдений и будет включать в анализ только их до тех пор, пока фильтр не будет изменен или отключен (вариант Все наблюдения (All cases) в диалоговом окне отбора наблюдений). Рассчитайте таблицу частот значений переменной introversion. Насколько полученные результаты соответствуют данным генеральной совокупности?
Упражнение 2.3(12). Повторите эту процедуру для 1000 случайно отобранных испытуемых. Проверьте, насколько ваш ответ на заданный выше вопрос соответствует полученному в этом случае результату. Повышается или понижается согласованность данных в генеральной совокупности и в выборке большего размера по сравнению с небольшой выборкой?
Пример 2.3(13). Рассмотрим ситуацию биномиального эксперимента, описанного в подпараграфе 2.2.4, в котором подбрасывают три монеты и считают количество выпавших гербов. Теоретические вероятности выпадения 0, 1, 2 и 3 в случае симметричной монеты равны 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8 соответственно (см. 2.2.4). В файле 3FairCoins.sav приведены смоделированные данные эксперимента, в котором три монеты подбрасывают 1000 раз и каждый раз фиксируют количество гербов (единственный столбец — heads). Результаты расчета частоты появления каждого из возможных исходов представлены в таблице 2.3(14).
Таблица 2.3(14). Частота выпадения k гербов при подбрасывании трех монет
| Number of heads |
|||||
| Частота | Проценты | Валидный процент | Накопленный процент | ||
| Валидные | 0.00 | 127 | 12.7 | 12.7 | 12.7 |
| 1.00 | 377 | 37.7 | 37.7 | 50.4 | |
| 2.00 | 375 | 37.5 | 37.5 | 87.9 | |
| 3.00 | 121 | 12.1 | 12.1 | 100.0 | |
| Всего | 1 000 | 100.0 | 100.0 | ||
Из таблицы видно, что относительная частота достаточно близка к рассчитанным выше теоретическим вероятностям.
Упражнение 2.3(15). В файле 3UnknownCoins.sav содержатся модельные результаты трех серий экспериментов, аналогичных описанному в предыдущем примере. Однако в одном из экспериментов использовались симметричные монеты, а в двух других искривленные так, что в одной серии более вероятным было выпадение герба, а в другой — выпадение цифры. Данные представлены в трех столбцах (heads1, heads2 и heads3). Порядок серий с симметричными и асимметричными монетами неизвестен. Мы предлагаем читателю самостоятельно рассчитать частоты выпадения того или иного числа гербов и определить, в какой переменной содержатся данные об эксперименте с симметричной монетой, а в каких — данные об искривленных в пользу орла или цифры монетах.
2.3.2 Вероятности и частоты в Jamovi
Пример 2.3(1)j Соотношение данных в генеральной совокупности и выборке. В файле IntroProb.sav содержатся модельные данные о частоте выраженности различных типов темперамента, полученные в результате проведения опроса по методике Айзенка. Таблица данных состоит из единственной переменной, названной introversion, содержащей данные о выраженности экстраверсии или интроверсии испытуемых (три градации переменной: 1 — интроверт, 2 — экстраверт, 3 — неопределенный тип (так называемый амбиверт)). Поскольку амбиверт не является промежуточным между экстравертом и интровертом типом, то шкалу можно считать номинативной. Таблица содержит очень большое количество измерений этих двух параметров (426 679), статистика соответствует данным, накопленным на сайте http://psyline.retter.ru/auzeng/st_e.php (по состоянию на май 2016 года).
Будем в рамках этого примера рассматривать данные как исчерпывающие генеральную совокупность. Скажем, нас интересует такая генеральная совокупность, как население города, в котором живет 426 679 человек. Такие полные данные о генеральной совокупности обычно либо не существуют вообще, либо засекречены. Допустим, что это секретная база, собранная сотрудниками спецслужб. В таком случае мы можем практически точно определить вероятность событий типа «случайный житель города — экстраверт» или «случайный житель города — интроверт». Для этого надо рассчитать относительную частоту появления того ли иного типа личности в нашей условной генеральной совокупности. Чтобы сделать это, зайдем в меню Exploration—Descriptives
Перетащим переменную introversion в окно Variables. В правом окне результатов появляется таблица, в которой выведены среднее значение, медиана, максимум и минимум.
Вопрос 1. Имеет ли смысл среднее значение для номинативной переменной?
Ответ. Не имеет.
Эту таблицу лучше убрать в данном случае. Для этого надо кликнуть надпись Statistics и убрать в выпавшем окне все галочки. Таблица исчезнет. Для того, чтобы была выведена нужная информация, вставьте галочку в окошко Frequency tables и, нажав на надпись Plots, проставить галочку в окошко Hystogram
В результате получим таблицу 2.3(2)j.
Таблица 2.3(2)j. Распределение типов личности в условной «генеральной совокупности»
Frequencies
| Levels | Counts | % of Total | Cumulative % | ||||
| introvert | 203423 | 47.7 % | 47.7 % | ||||
| extravert | 184524 | 43.2 % | 90.9 % | ||||
| ambivert | 38732 | 9.1 % | 100.0 % | ||||
Из нее следует, что вероятность интроверсии составляет 0.477 (47.7%), экстраверсии — 0.432, а амбиверсии — 0.091.
Полученная гистограмма (соответствующая таблице) изображена на рис. 2.3(3)j.
Рис. 2.3(3)j. Гистограмма распределения интроверсии/экстраверсии
Упражнение 2.3(4)j. В файле TempProb.sav содержатся данные о выраженности темперамента у жителей того же города. В переменной temp приведена принадлежность жителей к одному из четырех типов темперамента: 1 — холерик, 2 — сангвиник, 3 — флегматик, 4 — меланхолик или 5 — к неопределенному типу. Исходя из положения, что эти данные соответствуют генеральной совокупности, рассчитайте вероятности того, что случайный житель будет обладать тем или иным типом темперамента.
Пример 2.3(5)j. Смоделируем ситуацию выборочной оценки распределения вероятностей в генеральной совокупности. Допустим, в городе, о котором шла речь в Примере 2.3(1)j, проводится исследование, направленное на оценку соотношения интровертов и экстравертов. Исследование проводится неким институтом и этим проектом занимаются 10 исследователей. Каждый из исследователей тестирует 100 случайно отобранных жителей города. Таким образом, каждый из них получает выборку размером 100, а при объединении всех набранных данных можно получить большую выборку размером 1000. В файле IntroProbResearch.sav содержатся модельные данные такого исследования тысячи человек десятью исследователями. В первом столбце так же, как и в предыдущем примере, отмечена принадлежность испытуемых к интровертам, экстравертам или амбивертам, а во втором — ResearcherId — условный номер исследователя, который собрал эти данные (от 1 до 10). Сравним результаты, полученные отдельными исследователями, между собой и с данными из Примера 2.3(1)j Для этого можно использовать функцию разбиения файла: последовательно выбрать пункты меню, как в примере 2.3(1)j (убрав галочки в окне Statistics), но дополнительно перетащить переменную researcher_id в окно Split by. Гистограммы в этот раз делать не будем.
Мы получим таблицу 2.3(5)j
| introversion | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||||||||
| 1 | 53 | 44 | 55 | 49 | 57 | 49 | 41 | 49 | 50 | 47 | |||||||||||
| 2 | 43 | 49 | 42 | 43 | 36 | 40 | 47 | 40 | 40 | 43 | |||||||||||
| 3 | 4 | 7 | 3 | 8 | 7 | 11 | 12 | 11 | 10 | 10 | |||||||||||
При этом различия между данными, полученными различными исследователями, будут довольно заметны. Например, доли интровертов, экстравертов и амбивертов по данным исследователя номер 3 будут 0.55, 0.42 и 0.03, а если мы возьмем данные, полученные исследователем номер 10, то доли будут 0.5, 0.4 и 0.1 соответственно.
Упражнение 2.3(6)j. Соотнесите результаты, полученные каждым из 10 исследователей с данными «генеральной совокупности». Насколько они отличаются от данных, полученных в генеральной совокупности?
Как будет соотноситься результат каждого из исследователя с «истинным» распределением типов личности в генеральной совокупности, если каждый исследователь обследует не 100, а только 10 жителей города? А если каждый сумеет обследовать 1000 жителей? В каком случае полученные данные будут более схожими с генеральной совокупностью?
Пример 2.3(7)j. Если мы объединим выборки, полученные 10 исследователями в одну большую «мета-выборку», то мы получим данные в общей сложности на 1000 случайных респондентов. Проведение частотного анализа соотношения типов личности в объединенной выборке даст результат, приведенный в таблице 2.3.4(8)j.
Таблица 2.3(8)j. Распределение типов личности в объединенной выборке (1000 человек)
| Levels | Counts | % of Total | Cumulative % | ||||
| 1 | 494 | 49.4 % | 49.4 % | ||||
| 2 | 423 | 42.3 % | 91.7 % | ||||
| 3 | 83 | 8.3 % | 100.0 % | ||||
Как видно из таблицы, полученные частоты того или иного типа личности уже достаточно близки к полученным в генеральной совокупности (ср. с таблицей 2.3(2)j).
Данный пример наглядно демонстрирует, что недостаточный объем выборки может приводить к искажению оценки вероятности того или иного события (или значения параметра) в генеральной совокупности. В дальнейшем мы обсудим закон больших чисел, которые строго показывает, что увеличение выборки приводит к все более точной оценке «истинного» значения любого параметра в генеральной совокупности.
Пример 2.3(13). Рассмотрим ситуацию биномиального эксперимента, описанного в подпараграфе 2.2.4, в котором подбрасывают три монеты и считают количество выпавших гербов. Теоретические вероятности выпадения 0, 1, 2 и 3 в случае симметричной монеты равны 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8 соответственно (см. 2.2.4). В файле 3FairCoins.sav приведены смоделированные данные эксперимента, в котором три монеты подбрасывают 1000 раз и каждый раз фиксируют количество гербов (единственный столбец — heads). Результаты расчета частоты появления каждого из возможных исходов представлены в таблице 2.3(14)j.
Таблица 2.3(14)j. Частота выпадения k гербов при подбрасывании трех монет
| Levels | Counts | % of Total | Cumulative % | ||||
| 0 | 127 | 12.7 % | 12.7 % | ||||
| 1 | 377 | 37.7 % | 50.4 % | ||||
| 2 | 375 | 37.5 % | 87.9 % | ||||
| 3 | 121 | 12.1 % | 100.0 % | ||||
Из таблицы видно, что относительная частота достаточно близка к рассчитанным выше теоретическим вероятностям.
Упражнение 2.3.(15)j. В файле 3UnknownCoins.sav содержатся модельные результаты трех серий экспериментов, аналогичных описанному в предыдущем примере. Однако в одном из экспериментов использовались симметричные монеты, а в двух других искривленные так, что в одной серии более вероятным было выпадение герба, а в другой — выпадение цифры. Данные представлены в трех столбцах (heads1, heads2 и heads3). Порядок серий с симметричными и асимметричными монетами неизвестен. Мы предлагаем читателю самостоятельно рассчитать частоты выпадения того или иного числа гербов и определить, в какой переменной содержатся данные об эксперименте с симметричной монетой, а в каких — данные об искривленных в пользу орла или цифры монетах.
2.3.3 Вероятности и частоты в Rstudio
Пример 2.3(1)r[1]. Соотношение данных в генеральной совокупности и выборке. В файле IntroProb.sav содержатся модельные данные о частоте выраженности различных типов темперамента, полученные в результате проведения опроса по методике Айзенка. Загрузим её в переменную data_prob:
library(foreign)
data_prob <- read.spss("IntroProb.sav", to.data.frame = T, reencode = "utf8")
Таблица данных состоит из единственной переменной, названной introversion, содержащей данные о выраженности экстраверсии или интроверсии испытуемых (три градации переменной: 1 — интроверт, 2 — экстраверт, 3 — неопределенный тип (так называемый амбиверт)). Поскольку амбиверт не является промежуточным между экстравертом и интровертом типом, то шкалу можно считать номинативной, при этом в таблице данных она оформлена как фактор с тремя уровнями[2].
Таблица содержит очень большое количество измерений этих двух параметров (426 679), статистика соответствует данным, накопленным на сайте http://psyline.retter.ru/auzeng/st_e.php (по состоянию на май 2016 года).
Будем в рамках этого примера рассматривать данные как исчерпывающие генеральную совокупность. Скажем, нас интересует такая генеральная совокупность, как население города, в котором живет 426 679 человек. Такие полные данные о генеральной совокупности обычно либо не существуют вообще, либо засекречены. Допустим, что это секретная база, собранная сотрудниками спецслужб. В таком случае мы можем практически точно определить вероятность событий типа «случайный житель города — экстраверт» или «случайный житель города — интроверт». Для этого надо рассчитать относительную частоту появления того ли иного типа личности в нашей условной генеральной совокупности. В R есть функция table, которая рассчитывает абсолютные частоты каждого из значений переменной. Команда
Freq_abs <- table(data_prob$introversion)
Создаст переменную Freq_abs, в который будет три абсолютных частоты для каждого из уровня переменной introversion. Чтобы получить относительную частоту (долю) эту переменную можно разделить на общий размер выборки, который равен числу элементов переменной introversion и может быть рассчитан с помощью функции length[3]. Сохраним эти частоты в переменной Freq_rel:
Freq_rel <- Freq_abs / length(data_prob$introversion)
Выведем теперь две таблицы частот в консоль:
> Freq_abs introvert extravert ambivert 203423 184524 38732 > Freq_rel introvert extravert ambivert 0.4767589 0.4324656 0.0907755
Из последней таблицы следует, что вероятность интроверсии составляет с точностью до третьего знака после запятой[4] 0.477 (47.7%), экстраверсии — 0.432, а амбиверсии — 0.091.
Также распределение можно представит графически, в виде частотного графика – гистограммы – в которой высота столбиков соответствует абсолютной или относительной частоте появления того или иного значения анализируемой переменной. В случае анализа числовых переменных в R это можно сделать с помощью базовой функцииhist, указав в качестве обязательного аргумента числовую переменную, мы воспользуемся её позже. В этом примере переменная является фактором, поэтому функцияhistне подходит, вместо неё можно использовать функциюplot, при работе с факторами она выводит нужный нам график. При выполнении команды
plot(data_prob$introversion)
мы получим график, изображенный на рис. 2.3(3)r.
Рис. 2.3(3)r. Гистограмма распределения интроверсии/экстраверсии
Упражнение 2.3(4)r. В файле TempProb.sav содержатся данные о выраженности темперамента у жителей того же города. В переменной temp приведена принадлежность жителей к одному из четырех типов темперамента: 1 — холерик, 2 — сангвиник, 3 — флегматик, 4 — меланхолик или 5 — к неопределенному типу. Исходя из положения, что эти данные соответствуют генеральной совокупности, рассчитайте вероятности того, что случайный житель будет обладать тем или иным типом темперамента.
Пример 2.3(5)r[5]. Смоделируем ситуацию выборочной оценки распределения вероятностей в генеральной совокупности. Допустим, в городе, о котором шла речь в Примере 2.3(1)r, проводится исследование, направленное на оценку соотношения интровертов и экстравертов. Исследование проводится неким институтом и этим проектом занимаются 10 исследователей. Каждый из исследователей тестирует 100 случайно отобранных жителей города. Таким образом, каждый из них получает выборку размером 100, а при объединении всех набранных данных можно получить большую выборку размером 1000. В файле IntroProbResearch.sav содержатся модельные данные такого исследования тысячи человек десятью исследователями. В первом столбце так же, как и в предыдущем примере, отмечена принадлежность испытуемых к интровертам, экстравертам или амбивертам, а во втором — ResearcherId — условный номер исследователя, который собрал эти данные (от 1 до 10). Сравним результаты, полученные отдельными исследователями, между собой и с данными из Примера 2.3(1)r. Так как и группа, и тип темперамента – это номинативные переменные, то в данном случае можно построить частотную таблицу, по строкам которой будут три типа темперамента, а по столбцам – номер исследователей, а содержанием – число испытуемых с тем или иным темпераментом у каждого из исследователей[6]. Для этого можно использовать функцию table, указав в качестве первого аргумента переменную, уровни которой будут строками, а вторым – ту, которая будет представлена по столбцам[7]:
table(data_prob10$introversion, data_prob10$researcher_id)
В результате мы получим следующую таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 introvert 53 44 55 49 57 49 41 49 50 47 exptravert 43 49 42 43 36 40 47 40 40 43 ambivert 4 7 3 8 7 11 12 11 10 10
Как видно, различия между данными, полученными отдельными исследователями, будут довольно заметны. Например, доли интровертов, экстравертов и амбивертов по данным исследователя номер 3 будут 0.55, 0.42 и 0.03, а если мы возьмем данные, полученные исследователем номер 10, то доли будут 0.5, 0.4 и 0.1 соответственно.
Упражнение 2.3(6)r. Соотнесите результаты, полученные каждым из 10 исследователей с данными «генеральной совокупности». Насколько они отличаются от данных, полученных в генеральной совокупности?
Как будет соотноситься результат каждого из исследователя с «истинным» распределением типов личности в генеральной совокупности, если каждый исследователь обследует не 100, а только 10 жителей города? А если каждый сумеет обследовать 1000 жителей? В каком случае полученные данные будут более схожими с генеральной совокупностью?
Пример 2.3(7)r. Если мы объединим выборки, полученные 10 исследователями в одну большую «мета-выборку», то мы получим данные в общей сложности на 1000 случайных респондентов. Проведение частотного анализа соотношения типов личности в объединенной выборке даст следующий результат:
> table(data_prob10$introversion) introvert exptravert ambivert 494 423 83
Получить относительные частоты можно с помощью уже упомянутой нами функции prop.table:
> prop.table(table(data_prob10$introversion)) introvert exptravert ambivert 0.494 0.423 0.083
Как видно из таблиц, полученные частоты того или иного типа личности уже достаточно близки к полученным в генеральной совокупности (ср. с таблицей в примере 2.3(1)r).
Данный пример наглядно демонстрирует, что недостаточный объем выборки может приводить к искажению оценки вероятности того или иного события (или значения параметра) в генеральной совокупности. В дальнейшем мы обсудим закон больших чисел, которые строго показывает, что увеличение выборки приводит к все более точной оценке «истинного» значения любого параметра в генеральной совокупности.
Пример 2.3(13)r[8]. Рассмотрим ситуацию биномиального эксперимента, описанного в подпараграфе 2.2.4, в котором подбрасывают три монеты и считают количество выпавших гербов. Теоретические вероятности выпадения 0, 1, 2 и 3 в случае симметричной монеты равны 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8 соответственно (см. 2.2.4). В файле 3FairCoins.sav приведены смоделированные данные эксперимента, в котором три монеты подбрасывают 1000 раз и каждый раз фиксируют количество гербов (единственный столбец — heads). Результаты расчета частоты появления каждого из возможных исходов представлены ниже:
> table(data_FairCoins$heads) 0 1 2 3 127 377 375 121 > prop.table(table(data_FairCoins$heads)) 0 1 2 3 0.127 0.377 0.375 0.121
Из таблиц видно, что относительная частота достаточно близка к рассчитанным выше теоретическим вероятностям.
Упражнение 2.3.(15)r. В файле 3UnknownCoins.sav содержатся модельные результаты трех серий экспериментов, аналогичных описанному в предыдущем примере. Однако в одном из экспериментов использовались симметричные монеты, а в двух других искривленные так, что в одной серии более вероятным было выпадение герба, а в другой — выпадение цифры. Данные представлены в трех столбцах (heads1, heads2 и heads3). Порядок серий с симметричными и асимметричными монетами неизвестен. Мы предлагаем читателю самостоятельно рассчитать частоты выпадения того или иного числа гербов и определить, в какой переменной содержатся данные об эксперименте с симметричной монетой, а в каких — данные об искривленных в пользу орла или цифры монетах.
[1] Скрипт, содержащий команды данного примера можно скачать здесь.
[2] Для того, чтобы узнать структуру таблицу и типы переменных в ней можно использовать функцию str (от structure): Str(data_prob). Также можно посмотреть состав таблицы и типы переменных, найдя её во вкладке Enviroment в правом верхнем углу окна Rstudio и раскрыв её, щёлкнув по значку 
.
[3] Тот же результат можно получить, использовав функцию prop.table. Проверьте, что команда Freq_rel <- prop.table(Freq_abs) приведёт к тому же результату.
[4] Число знаков в результатах можно регулировать с помощью функции round, первым аргументом которой надо указать число или числовую переменную, значения которой над округлить, а вторым – число десятичных знаков. Например, для округления значений таблицы относительных частот до трех десятичных знаков можно дать команду round(Freq_rel, 3).
[5] Скрипт, содержащий команды данного примера можно скачать здесь.
[6] Такая таблица называется таблицей сопряженности, подробнее и них см. также раздел 11.1.6 нашего учебника.
[7] Не забудьте считать данные, мы предлагаем имя таблицы data_prob10, но читатель может использовать любое другое, соответственно изменяя скрипт.
[8] Скрипт, содержащий команды данного примера можно скачать здесь.